ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ДВУХ КОМБИНИРОВАННЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ИЗ КЛАССА L2

Details: Published: 13 January 2025; Hits: 598

УДК 517.956.32
Исматов Р.Ф.
Таджикский национальный университет
Введение. В данной работе будем изучать вопрос однозначной разрешимости двух смешанных задач для процесса, который описывается телеграфным уравнением с переменным коэффициентом, принадлежащим клласу L2. Точнее, в работе будут рассмотрены вопросы существования, единственности и устойчивости решения рассматриваемых смешанных задач при условии, что численные значения момента времени T и длины отрезка l связанны между собой неравенством T≤l.

С точки зрения теории задач граничного управления изучен случай, когда момент времени меньше или равно критическому. Следует отметить, что полученные результаты будут использованы для исследования соответствующих задач граничного управления.
Отметим, что подобные уравнения и постановки смешанных задач и задач граничного управления возникают при математическом описании ряда важных физических процессов, которые связанны с распространением электромагнитных волн в длинных линиях, с изучением динамики нефти или газа в трубопроводе, с исследованием распространения колебаний в геологических средах и т.п.
Можно сказать, что теории смешанных задач и соответствующих задач граничного управления посвящено значительное число работ. Здесь приведём только работы [1-23]. В монографии Абдукаримова М.Ф. [20] можно найти обзор по этой темтаике.
Наша опубликованная статья [24] также посвящена этому направлению. Настоящую статью можно считать логическим продолжением данной статьи.
1. Постановка задач и основные определения
В замкнутом прямоугольнике Q_T=[0≤x≤l]×[0≤t≤T] будем рассматривать следующие две задачи:
- смешанную задачу I:
Lu≡u_tt (x,t)-u_xx (x,t)-q(x,t)u(x,t)=f(x,t) в〖 Q〗_T, (1)
u_x (0,t)=μ(t),u(l,t)=ν(t) при 0≤t≤T, (2)
u(x,0)=φ(x),u_t (x,0)=ψ(x) при 0≤x≤l, (3)
в которой предполагается, что μ(t)∈L_2 [0,T],ν(t)∈W_2^1 [0,T],φ(x)∈W_2^1 [0,l],
ψ(x)∈L_2 [0,l],f(x,t)∈L_2 (Q_T ) и выполнено условие согласования
φ(l)=ν(0). (4)
- смешанную задачу II: уравнение (1) с граничными условиями (2) при 0≤t≤T и финальными условиями
u(x,T)=φ_1 (x),u_t (x,T)=ψ_1 (x) при 0≤x≤l, (5)
в которой предполагается, что μ(t)∈L_2 [0,T],ν(t)∈W_2^1 [0,T],φ_1 (x)∈W_2^1 [0,l],
ψ_1 (x)∈L_2 [0,l],f(x,t)∈L_2 (Q_T ) и выполнено условие согласования
ν(T)=φ_1 (l). (6)
В смешанных задачах I-II требуется, чтобы переменный коэффициент q(x,t) принадлежал классу L_2 (Q_T ).
Будем понимать решение поставленных задач в смысле интегрального тождества и его будем искать в классе W ̂_2^1 (Q_T ), впервые введённом в работе В.А. Ильина [3]. Ниже используется класс W ̂_2^2 (Q_T ), определение которого также приведено в статье [3].
Теперь дадим определения поставленных комбинированных смешанных задач.
Определение 1. Обобщенным решением из класса W ̂_2^1 (Q_T ) смешанной задачи I назовем такую функцию u(x,t) из этого класса, которая удовлетворяет интегральному тождеству
∫_0^l▒∫_0^T▒〖u(x,t)LΦ(x,t)dxdt+∫_0^l▒〖φ(x) Φ_t (x,0)dx-〗〗 ∫_0^l▒ψ(x)Φ(x,0)dx+
+∫_0^T▒μ(t)Φ(0,t)dt+∫_0^T▒〖ν(t) Φ_x (l,t)dt〗=∫_0^l▒∫_0^T▒〖f(x,t)Φ(x,t)dxdt (7) 〗
для любой функции Φ(x,t)∈W ̂_2^2 (Q_T ), подчиненной условиям Φ_x (0,t)= =Φ(l,t)≡0 при 0≤t≤T и условиям Φ(x,T)=Φ_t (x,T)≡0 при 0≤x≤l, и которая, кроме того, удовлетворяет первому граничному условию (2) и второму начальному условию (3) почти всюду на [0,l], а второму граничному условию (2) и первому начальному условию (3) – для всех x∈[0,l].
Определение 2. Обобщенным решением из класса W ̂_2^1 (Q_T ) смешанной задачи II назовем такую функцию u(x,t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству (7), в котором вместо второго интеграла стоит взятый со знаком «минус» интеграл ∫_0^l▒[φ_1 (x) Φ_t (x,T)-ψ_1 (x)Φ(x,T)] dx и которое выполнено для любой пробной функции Φ(x,t)∈W ̂_2^2 (Q_T ), подчиненной условиям Φ_x (0,t)=Φ(l,t)≡0 при 0≤t≤T и условиям Φ(x,0)= =Φ_t (x,0)≡0 при 0≤x≤l, и которая, кроме того, удовлетворяет второму граничному условию (2) и первому финальному условию (5) для всех x∈[0,l], а первому граничному условию (2) и второму финальному условию (5) – почти всюду на [0,l].
2. Однозначная разрешимость смешанных задач
В этом разделе будем исследовать вопрос однозначной разрешимости сформулированных смешанных задач I - II.
Утверждение 1. Предположим, что q(x,t) есть нулевой элемент класса L_2 (Q_T ). Тогда для любого T>0 как смешанная задача I, так и смешанная задача II имеет не более одного решения из класса W ̂_2^1 (Q_T ).
Доказательство. Вкратце наметим схему доказательства утверждения 1 для смешанной задачи I. Пусть существует два решения u_1 (x,t) и u_2 (x,t) рассматриваемой смешанной задачи из класса W ̂_2^1 (Q_T ). Тогда их разность u(x,t)=u_1 (x,t)-u_2 (x,t) будет решением следующей задачи:
u_tt (x,t)-u_xx (x,t)=0 в Q_T,
u_x (0,t)≡0, u(l,t)≡0 при 0≤t≤T,
u(x,0)≡0, u_t (x,0)≡0 при 0≤x≤l.
При этом интегральное тождество (7) принимает вид
∫_0^T▒‍ ∫_0^l▒‍ u(x,t)[Φ_tt (x,t)-Φ_xx (x,t)]dxdt=0.
Запишем пробную функцию Φ(x,t) в виде
Φ(x,t)=ϑ(x)∙f(t),
в нём f(t) – любая дважды непрерывно дифференцируемая на всей бесконечной прямой функция, равная нулю при t≥t_0, t_0<l, а ϑ(x)- одна из собственных функций спектральной задачи
{█(ϑ^'' (x)+λϑ(x)=0,@ϑ_x (0)=ϑ(l)=0,)┤
λ-соответствующее собственное значение полученной задачи. Нетрудно показат, что ϑ_n (x)=cos π(2n+1)/2l x,n∈Z. Далее, для завершения доказательства утверждения 1 приходится повторять все рассуждения, приведённые в работе [21].
Ради простаты, в дальнейшем будем рассматривать смешанную задачу (1)-(3), в которой φ(x)≡0 на сегменте [0, l], ψ(x) -нулевой элемент класса L_2 [0,l], а μ(t) и ν(t) являются произвольными функциями соответственно из классов L_2 [0,T] и W_2^1 [0,T].
Утверждение 2. Предположим, что T≤l и q(x,t) является нулевым элементом класса L_2 (Q_T ). Тогда единственное обобщённое решение из класса W ̂_2^1 (Q_T ) смешанной задачи (1)-(3) определяется равенством

u(x,t)=-∫_0^(t-x)▒〖▁μ (τ)dτ〗+▁ν (t+x-l)+1/2 ∫_0^t▒‍ ∫_(x-t+τ)^(t+x-τ)▒〖f(ξ,τ)‍dξdτ〗, (8)

где ▁μ (t)={█(&μ(t),t≥0,@&0,t≤0,)┤ ▁ν (t)={█(&ν(t),t≥0,@&0,t≤0,)┤ а функция f(x,t) получена из функции правой части уравнения (1) чётным относительно точки x=0 и нечётным относительно x=l продолжением.
Доказательство. С помощью свойств функций f(x,t),μ(t) и ν(t) легко проверить, что при T≤l функция (8) для всех x∈[0,l] удовлетворяет граничному условию u(l,t)=ν(t) и начальному условию u(x,0)≡0, а граничному условию u_x (0,t)=μ(t) и начальному условию u_t (x,0)=0 удовлетворяет почти всюду на [0,l]. Таким образом, остаётся доказать, что она удовлетворяет интегральному тождеству (7), в котором φ(x)≡0 ∀x∈[0,l], а ψ(x)=0 почти всюду на [0,l], т.е. соотношению
L_(u,f,Φ)≡∫_0^l▒‍ ∫_0^T▒‍ u(x,t)[Φ_tt (x,t)-Φ_xx (x,t)]dxdt+
+∫_0^l▒〖[φ(x) Φ_t (x,0)-ψ(x)Φ(x,0)]dx+ ‍〗 ∫_0^T▒‍ μ(t)Φ(0,t)dt+
+∫_0^T▒‍ ν(t) Φ_x (l,t)dt-∫_0^l▒‍ ∫_0^T▒‍ f(x,t)Φ(x,t)dxdt=0 (9)
для произвольной функции Φ(x,t) из определения 1.
После интегрирования по частям соотношение (9) примет вид
L_(u,f,Φ)=∫_0^T▒‍ ∫_0^l▒〖[u_x (x,t) Φ_x (x,t)-u_t (x,t) Φ_t (x,t)]‍〗 dxdt+∫_0^T▒μ(t)Φ(0,t)dt-
-∫_0^T▒∫_0^l▒f(x,t)Φ(x,t)dxdt. (10)
Таким образом, надо доказать, что правая часть полученного соотношения (10) равна нулю. Будем обозначать через f ̂(x,t) любую первообразную по x функции f(x,t) и введём для рассмотрения функцию
U(x,t)=∫_0^(t-x)▒〖▁μ (τ)dτ〗+▁ν (t+x-l)+
+1/2 ∫_0^t▒〖f ̂(x+t-τ,τ)dτ〗+1/2 ∫_0^t▒〖f ̂(x-t+τ,τ)dτ〗.
Без труда можно проверить, что функция U(x,t) принадлежит классу W ̂_2^1 (Q_T ) и для почти всех точек прямоугольника Q_T имеют место
U_x (x,t)=u_t (x,t); U_t (x,t)-f ̂(x,t)=u_x (x,t).
С помощью этих соотношений получаем
∫_0^T▒∫_0^l▒〖U_t (x,t) Ф_x (x,t) □(24&dx)dt〗-∫_0^T▒∫_0^l▒〖f ̂(x,t) Ф_x (x,t) □(24&dxdt-)〗
-∫_0^T▒〖∫_0^l▒〖U_x (x,t) Ф_t (x,t) □(24&dxdt)〗+∫_0^T▒〖μ(t)Ф(0,t) □(24&dt-)〗〗
-∫_0^T▒∫_0^l▒f(x,t)Ф(x,t)dxdt=-∫_0^T▒∫_0^l▒〖U(x,t) Ф_xt (x,t)dxdt〗+
+∫_0^T▒∫_0^l▒f(x,t)Ф(x,t)dxdt+∫_0^T▒〖Ф(l,t) f ̂(l,t) □(24&dt)〗-∫_0^T▒〖Ф_t (l,t)U(l,t) □(24&dt)+〗
+∫_0^T▒∫_0^l▒〖U(x,t) Ф_tx (x,t)dxdt〗+∫_0^T▒μ(t)Ф(0,t)dt-∫_0^T▒〖∫_0^l▒f(x,t)Ф(x,t)dxdt=〗
=-∫_0^T▒〖Ф(l,t) f ̂(l,t) □(24&dt)-∫_0^T▒〖Ф_t (l,t)U(l,t) □(24&dt)+〗 ∫_0^T▒〖Ф(0,t)μ(t) □(24&dt)=〗〗
=-∫_0^T▒〖Ф(l,t) f ̂(l,t) □(24&dt)〗+∫_0^T▒〖Ф(l,t) U_t (l,t)dt〗 □(24&+∫_0^T▒Ф(l,t) μ(t) □(24&dt)=)
=-∫_0^T▒〖Ф(l,t) f ̂(l,t)dt〗 □(24&+∫_0^T▒〖Ф(l,t) U_x (l,t) □(24&dt+∫_0^T▒〖Ф(l,t) f ̂(l,t) □(24&dt)-〗)〗)
-∫_0^T▒〖Ф(0,t)μ(t) □(24&dt=)〗 ∫_0^T▒〖Ф(l,t)ν(t) □(24&dt)-〗 ∫_0^T▒〖Ф(l,t)ν(t) □(24&dt)〗=0.
Итак, доказательство утверждения 2 завершено.
Теперь будем рассматрвать смешанную задачу I с нулевыми начальными условиями (3), краевыми условиями μ(t)∈L_2 [0,T],ν(t)∈W_2^1 [0,T], для второй из ных ν(0)=0, и любыми функциями f(x,t),q(x,t)∈L_2 (Q_T ).
Лемма. Предположим, что T≤l,q(x"," t)"," f(x"," t)∈L_2 (Q_T ). Тогда обобщённым решением из класса W ̂_2^1 (Q_T ) рассматриваемой смешанной задачи (1)-(3) является любая ограниченная в Q_T функция u(x,t), которая удовлетворяет соотношению
u(x,t)=-∫_0^(t-x)▒〖▁μ (τ)dτ〗+▁ν (t+x-l)+
+1/2 ∫_0^(t-x)▒〖dτ∫_0^(t-x-τ)▒〖[q(ξ,τ)u(ξ,τ)+f(ξ,τ)]dξ+〗〗
+1/2 ∫_0^t▒〖dτ∫_((τ-t+x)/2+|(τ-t+x)/2|)^(l-|τ-t-x-l|)▒[q(ξ,τ)u(ξ,τ)+f(ξ,τ)]dξ〗. (11)
Чтобы доказать эту лемму достаточно учитывать описанное в утверждении 2 продолжение функции f(x,t) и после чего перенести слагаемое q(x,t)u(x,t) в правую часть уравнения (1).
Замечание 1. Если предполагать, что ▁μ (t)∈L_2 (-ε_1,┤ ├ T] ∀ ε_1>0, ▁ν (t)∈W_2^2 (-ε_2,┤ ├ T] ∀ ε_2>0, коэффициент q(x,t) вместе с q_x (x,t) ограничен в области Q_T и функция f(x,t) принадлежит классу W ̂_2^1 (Q_T ), то рассматриваемое в приведённой лемме решение смешанной задачи (1)-(3) будет принадлежать классу W ̂_2^2 (Q_T ).
Теорема 1. Пусть T≤l," " q(x"," t)"," f(x"," t)∈L_2 (Q_T ). Тогда интегральное уравнение (11) имеет единственное ограниченное решение u(x,t), причём если f(x,t)≡0, то u(x,t)≡0 в {(x,t):0≤t≤l/2,t≤x≤l-t}∩Q_T.
Доказательство. Теорема 1 для каждого значения T≤l доказывается единообразно. В силу этого будем рассматривать случай T=l. Следуя схеме, предложенной в [11] (см. также [14]), разделим квадрат Q_l на четыре части характеристиками x=t и x=l-t. В полученных областях: треугольнике Δ_1={(x,t):0≤t≤l/2,t≤x≤l-t}, примыкающем к нижнему основанию Q_l; треугольниках Δ_2={(x,t):0≤t≤l,0≤x≤l/2-|t-l/2|} и Δ_3={(x,t):0≤t≤l,l/2+|t-l/2|≤x≤l}, примыкающих к боковым сторонам Q_l; треугольнике Δ_4={(x,t):l/2≤t≤l,l-t≤x≤t}, примыкающем к верхнему основанию Q_l, положим u_j (x,t)= u(x,t) при (x,t)∈ Δ_j , j=¯1,4 и изучим (11) последовательно для точек (x,t), лежащих в областях Δ_1, Δ_2, Δ_3 и Δ_4 как интегральные уравнения для нахождения неизвестных функций u_1 (x,t), u_2 (x,t), u_3 (x,t)и u_4 (x,t)

Для j=1 соотношение (11) принимает вид
u_1 (x,t)=1/2 ∬_(D_1)▒f(ξ,τ)dξdτ+1/2 ∬_(D_1)▒〖q(ξ,τ) u_1 (ξ,τ)dξdτ〗, (12)
в котором
Представим уравнение (12) в операторном виде
u_1 (x,t)=1/2 ∬_(D_1)▒f(ξ,τ)dξdτ+[Ν_1 u_1 ](x,t).
Оператор
[N_1 χ](x,t)=1/2 ∬_(D_1)▒q(ξ,τ)χ(ξ,τ)dξdτ
ограниченно действует в L_2 (∆_1 ) и для его степени имеет место оценка
|[N_1^k χ](x,t)|≤(sup)┬((x,t)∈Δ_1 ) |χ(x,t)|⋅〖‖q‖^k〗_(L_2 (Δ_1 ) )⋅t^k/((√2)^k √((2k)!)), k∈N. (13)
С помощью метода математической индукции докажем оценку (13). Для k=1 при помощи неравенства Коши-Буняковского имеем
|[N_1 χ](x,t)|=1/2 |∬_(D_1)▒q(ξ,τ)χ(ξ,τ)dξdτ|≤
≤1/2 (sup)┬((x,t)∈Δ_1 ) |χ(x,t)| √(∬_(D_1)▒〖q^2 (ξ,τ)dξdτ〗)∙√(∫_0^t▒〖dτ∫_(x-t+τ)^(x+t-τ)▒dξ〗)≤
≤(sup)┬((x,t)∈Δ_1 ) |χ(x,t)|⋅‖q‖_(L_2 (Δ_1 ) )⋅t/2.

Пусть при k=n оценка (13) справедлива. Для случая k=n+1 имеем
|[〖〖N_1〗^(n+1)〗_1 χ](x,t)|≤1/2 ∬_(D_1)▒〖|q(ξ,τ)|∙|[N_1^n χ]|(ξ,τ)dξdτ≤〗
≤1/2 (sup)┬((x,t)∈Δ_1 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^n〗_(L_2 (Δ_1 ) )∙1/((√2)^n √((2n)!))∙√(∫_0^t▒〖τ^n dτ∫_(x-t+τ)^(x+t-τ)▒|q(ξ,τ)|dξ.〗)
Для последнего интеграла получаем
‖q‖_(2,Δ_1 )⋅√(∫_0^t▒〖τ^2n dτ∫_(x-t+τ)^(x+t-τ)▒dξ〗)=‖q‖_(2,Δ_1 )⋅(√2⋅t^(n+1))/√((2n+1)(2n+2) ),
что доказывает оценку (13).
Отсюда следует, что (12) является интегральным уравнением типа Вольтеры второго рода. Если f(x"," t)≡0, то оно имеет только тривиальное решение как однородное уравнение, то есть в этом случае u_1 (x,t)≡0 в ∆_1. Если f(x,t) произвольная функция из класса L_2 (Q_T ), то решение уравнения (12) можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда Неймана
u_1 (x,t)=(Ι+∑_(k=1)^∞▒Ν_1^k ) F_1 (x,t),F_1 (x,t)=1/2 ∬_(D_1)▒f(ξ,τ)dξdτ.
Для случая j=2 имеем
u_2 (x,t)=-∫_0^(t-x)▒〖▁μ (τ)dτ+〗 1/2 ∬_(D^*)▒〖f(ξ,τ)dξdτ+〗
+1/2 ∬_(D_(11∪) D_12)▒〖q(ξ,τ) u_1 (ξ,τ)dξdτ+1/2 (∬_(D_21)▒+ ∬_(D_22)▒〖q(ξ,τ) u_2 (ξ,τ)dξdτ〗) 〗, (14)

где
D_11≡D_11 (x,t)={(ξ,τ):0≤τ≤(t+x)/2;τ≤ξ≤x+t-τ}⊂Δ_1;
D_12≡D_12 (x,t)={(ξ,τ):0≤τ≤(t-x)/2;τ≤ξ≤t-x-τ}⊂Δ_1;
D_21 〖≡D〗_21 (x,t)={(ξ,τ):0≤τ≤t;(x-t+τ)/2+|(x-t+τ)/2|≤ξ≤(x+t)/2-|τ-(x+t)/2|}⊂Δ_2;
D_22 〖≡D〗_22 (x,t)={(ξ,τ):0≤τ≤t-x;0≤ξ≤(t-x)/2-|τ-(t-x)/2|}⊂Δ_2;
D^*=D_11∪D_12∪D_21∪D_22.
Область D_21 целиком лежит в треугольнике Δ_1, поэтому в (14) второй интеграл содержит уже известную функцию u_2 (x,t). Введём обозначения
F_2 (x,t)=-∫_0^(t-x)▒〖▁μ (τ)dτ〗+1/2 ∬_(D^*)▒f(ξ,τ)dξdτ+1/2 ∬_(D_11∪D_12)▒〖q(ξ,τ) u_1 (ξ,τ)dξdτ〗
и
[N_2 χ](x,t)=1/2 (∬_(D_21)▒+ ∬_(D_22))q(ξ,τ)χ(ξ,τ)dξdτ.
С учётом этих обозначений перепишем (14) в операторном виде
u_2 (x,t)=F_2 (x,t)+[N_2 u_2 ](x,t).
При помощи метода математической индукции докажем, что ограниченно действующий в L_2 (∆_2 ) оператор Ν_2 удовлетворяет оценке
|[N_2^k χ](x,t)|≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^k〗_(2,〖 ∆〗_2 )∙√([t(t-x)]^k )/k! , k∈N. (15)
Для k=1 имеем
|[N_2 χ](x,t)|≤|∬_(D_22)▒q(η,τ)χ(η,τ)dηdτ|≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙√(∬_(∆_2)▒〖q^2 (η,τ)dηdτ〗)∙√(∫_0^t▒〖dτ∫_(x-t+τ)^τ▒dη〗)≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙‖q‖_(2,∆_2 )∙√(∫_0^t▒(t-x)dτ)≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙‖q‖_(2,∆_2 )∙√((t-x)t)≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙‖q‖_(2,∆_2 )∙√((t-x)t).
Пусть для k=n оценка (15) справедлива, т.е.
|[N_2^n χ](x,t)|≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^n〗_(2,∆_2 )∙√([t(t-x)]^n )/n!.
Для случая k=n+1 имеем
|[N_2^(n+1) χ](x,t)|≤|∬_(D_22)▒q(η,τ)[N_2^n χ](η,τ)dηdτ|≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^n〗_(2,∆_2 )∙1/n!∙∬_(D_22)▒〖|q(η,τ)| √([τ(τ-η)]^n ) dηdτ≤〗
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^(n+1)〗_(2,∆_2 )∙1/n!∙√(∫_0^t▒〖τ^n dτ∫_(x-t+τ)^τ▒〖(τ-η)^n dη〗〗)≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^(n+1)〗_(2,∆_2 )∙1/n!∙√(∫_0^t▒〖(τ^n (t-x)^(n+1))/(n+1) dτ〗)≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^(n+1)〗_(2,∆_2 )∙1/n!∙√(t^(n+1)/(n+1)∙(t-x)^(n+1)/(n+1) )≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^(n+1)〗_(2,∆_2 )∙1/n!∙√(t^(n+1)∙(t-x)^(n+1) )/(n+1)≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |χ(x,t)|∙〖‖q‖^(n+1)〗_(2,∆_2 )∙√([t∙(t-x)]^(n+1) )/(n+1)!.
Таким образом, справедливость оценки (15) доказана. Итак, уравнение (14) имеет ограниченное решение в области ∆_2, которое можно записать в виде абсолютно сходящегося ряда Неймана
u_2 (x,t)=(Ι+∑_(k=1)^∞▒Ν_2^k ) F_2 (x,t).
Когда j=3, имеем уравнение
u_3 (x,t)=ν(t+x-l)+1/2 ∬_(D_31∪D_32)▒f(ξ,τ)dξdτ+
+1/2 ∬_(D_31)▒〖q(ξ,τ) u_1 (ξ,τ)dξdτ〗+1/2 ∬_(D_32)▒〖q(ξ,τ) u_3 (ξ,τ)dξdτ〗, (16)
где
D_31≡D_31 (x,t)={█((ξ,τ): 0≤τ≤(t-x+l)/2;@x-t+τ≤ξ≤(3l-x-t)/2-|(x+t-l)/2-τ| )}⊂Δ_1,
D_32≡D_32 (x,t)={█((ξ,τ): (t+x-l)/2≤τ≤t;@(l+x-t)/2+|τ-(t-x+l)/2|≤ξ≤l-|l-x-t+τ| )}⊂Δ_3.
В (16) четыре первых интеграла содержат уже известные функции. Обозначая их через F_3 (x,t), будем иметь относительно функции u_3 (x,t) интегральное уравнение типа Вольтеры
u_3 (x,t)=F_3 (x,t)+[N_3 u_3 ](x,t),
в нём интегральный оператор
[N_3 u_3 ](x,t)=1/2 ∬_(D_32)▒q(ξ,τ)χ(ξ,τ)dξdτ
ограниченно действует в L_2 (∆_3 ) и для его степеней имеет место оценка
|[N_3^k χ](x,t)|≤Sup┬((x,t)ϵ∆_3 ) |χ(x,t)|∙((√l∙‖q‖_(2,∆_3 ))/2)^k∙√((x+t-l)^k )/k!, k∈N. (17)

Таким образом, (16) на основании оценки (17) имеет ограниченное в ∆_3 решение, которое можно записать в виде абсолютно сходящегося ряда Неймана
u_3 (x,t)=(Ι+∑_(k=1)^∞▒Ν_3^k ) F_3 (x,t).
Наконец, для случая j=4 будем получать уравнение
u_4 (x,t)=F_4 (x,t)+1/2 ∬_(D_4)▒〖q(ξ,τ) u_4 (ξ,τ)dξdτ,〗 (18)
где
F_4 (x,t)=-∫_0^(t-x)▒μ(τ)dτ+ν(t+x-l)+1/2 ∬_(D^(**))▒f(ξ,τ)dξdτ+
+1/2 ∬_(D_(41∪D_42 ))▒〖q(ξ,τ) u_1 (ξ,τ)dξdτ〗+1/2 ∬_(D_(43∪D_44 ))▒〖q(ξ,τ) u_2 (ξ,τ)dξdτ〗+
+1/2 ∬_(D_45)▒〖q(ξ,τ) u_3 (ξ,τ)dξdτ〗
является уже известной функцией,
D_41≡D_41 (x,t)={(ξ,τ):0≤τ≤(t-x)/2;τ≤ξ≤t-x-τ}⊂Δ_1;
D_42≡D_42 (x,t)={(ξ,τ):0≤τ≤l/2;τ≤ξ≤(3l-t-x)/2-|τ-(t+x-l)/2|}⊂Δ_1;
D_43≡D_43 (x,t)={█((ξ,τ):0≤τ≤(t-x+l)/2;@(x-t+τ)/2+|(x-t+τ)/2|≤ξ≤l/2-|τ-l/2| )}⊂Δ_2;
D_44≡D_44 (x,t)={(ξ,τ):0≤τ≤t-x;0≤ξ≤(t-x)/2-|τ-(t-x)/2|}⊂Δ_2;
D_45≡D_45 (x,t)={█((ξ,τ):(x+t-l)/2≤τ≤(t+x)/2;@l/2+|l/2-τ|≤ξ≤≤l-|x+t-l-τ| )}⊂Δ_3;
D_4≡D_4 (x,t)={█((ξ,τ):l/2≤τ≤t;@(x-t+l)/2+|τ-(t-x+l)/2|≤ξ≤(x+t)/2-|τ-(t+x)/2| )}⊂Δ_4;
D^(**)=D_41∪D_42∪D_43∪D_44∪D_45∪D_4.
Представим уравнение (18) в операторном виде
u_4 (x,t)=F_4 (x,t)+[Ν_4 u_4 ](x,t).
Без труда можно видеть, что оператор
[Ν_4 u_4 ](x,t)=1/2 ∬_(D_4)▒〖q(ξ,τ) u_4 (ξ,τ)dξdτ〗
ограниченно действует в L_2 (∆_4 ) и для его степеней имеет место оценка
|[N_4^k χ](x,t)|≤Sup┬((x,t)ϵ∆_4 ) |χ(x,t)|∙((√l∙‖q‖_(2,∆_4 ))/2)^k∙√((x+t-l)^k )/k! k∈N. (19)
Действительно, для k=1 имеем

Итак, оценка (19) доказана и это свидетельствует о том, что (18) является интегральным уравнением типа Вольтеры и поэтому имеет ограниченное в ∆_4 решение, представляющее в виде абсолютно сходящегося ряда Неймана
u_4 (x,t)=(Ι+∑_(k=1)^∞▒Ν_4^k ) F_4 (x,t).
Чтобы завершить доказательство теоремы 1 будем изучать гладкость полученного решения. Из (11) видно, что решение u(x,t) в Q_T непрерывно. Положим U(x"," t)=f(x,t)+q(x,t)u(x,t) и продолжим функцию U(x",t" ) чётно относительно точки x=0 и нечётно относительно точки x=l. В результате этого (11) переходит в равенство
u(x,t)=-∫_0^(t-x)▒〖▁μ (τ)dτ〗+▁ν (t+x-l)+1/2 ∫_0^t▒∫_(x-t+τ)^(x+t-τ)▒U(ξ,τ)dξdτ.
После дифференцирования этого равенства относительно t и x будем иметь для почти всех (x"," t)∈Q_T соотношения
u_t (x,t)=-▁μ (t-x)+▁(ν^' ) (t+x-l)+
+1/2 ∫_0^t▒[U(x+t-τ,τ)+U(x-t+τ,τ)]dτ, (20)
u_x (x,t)=▁μ (t-x)+▁(ν^' ) (t+x-l)+
+1/2 ∫_0^t▒[U(x+t-τ,τ)-U(x-t+τ,τ)]dτ. (21)
Из равенств (20) и (21) вытекает, что u_t (x"," t) и u_x (x"," t) принадлежат классу L_2 (0≤x≤l) для всех t∈[0,T] и принадлежат классу L_2 (0≤t≤T) для всех x∈[0,T]. Теоремы 1 доказана.
Следствие. Предположим, что имеют место условия теоремы 1. Тогда для решения смешанной задачи (1) – (3) справедлива
Sup┬((x,t)∈Q_T ) |u(x,t)|≤C(‖μ(t)‖_(L_2 [0,T] )+Sup┬(t∈[0,T] ) |ν(t)|+‖f‖_(L_2 (Q_T ) ) ), (22)
равномерноя по всем q(x,t): ‖q‖_(L_2 (Q_T ) )≤γ (тем самым, C=C(γ)>0).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда (x,t)ϵ∆_1. При этом с помощью оценки (13) и неравенства Коши- Буняковского будем имееть
|u_1 (x,t)|≤1/2 Sup┬((x,t)ϵ∆_1 ) ∬_(D_1)▒|f(η,τ)|dηdτ+
+∑_(k=1)^∞▒〖[1/2∙Sup┬((x,t)ϵ∆_1 ) ∬_(D_1)▒〖|f(η,τ)|dηdτ∙〖‖q‖_(2,∆_1 )〗^k∙t^k/((√2)^k∙√((2k)!))〗]≤〗
≤1/2 Sup┬((x,t)ϵ∆_1 ) ∬_(D_1)▒〖|f(η,τ)|dηdτ∙[1+∑_(k=1)^∞▒〖〖‖q‖_(2,∆_1 )〗^k∙t^k/((√2)^k∙√((2k)!))〗] 〗≤
≤1/2 ‖f‖_(2,∆_1 )∙l/2∙[1+∑_(k=1)^∞▒〖1/k!∙((t∙‖q‖_(2,∆_1 ))/√2) 〗^k ]≤l/4 ‖f‖_(2,∆_1 ) exp((l∙‖q‖_(2,∆_1 ))/√2)=
=C_1∙‖f‖_(2,∆_1 ) 〖, где C〗_1=l/4 exp((l∙‖q‖_(2,∆_1 ))/√2).
Таким образом, справедливость оценки (22) в случае, когда (x,t)ϵ∆_1 обоснована.
Пусть теперь (x,t)ϵ∆_2. При этом имеем
|F_2 (x,t)|≤|-∫_0^(t-x)▒μ(τ)dτ|+1/2 ∫_0^l▒〖dτ∫_0^(l-τ)▒|f(η,τ)|dη〗+
+C_1∙‖f‖_(2,∆_1 )∙∫_0^(l/2)▒〖dτ∫_τ^(l-τ)▒|q(η,τ)|dη≤〗
≤|-∫_0^(t-x)▒μ(τ)dτ|+1/2 √(∫_0^l▒〖dτ∫_0^(l-τ)▒〖f^2 (η,τ)dη〗〗)∙√(∫_0^l▒〖dτ∫_0^(l-τ)▒dη〗)+
+C_1∙‖f‖_(2,∆_1 )∙√(∫_0^(l/2)▒〖dτ∫_0^(l-τ)▒〖q^2 (η,τ)dη〗〗)∙√(∫_0^(l/2)▒〖dτ∫_τ^(l-τ)▒dη〗)≤
≤‖μ‖_(2,∆_1 )+l/(2√2) ‖f‖_(2,∆_(1∪) ∆_2 )+〖Cg〗_1∙‖f‖_(2,∆_1 )∙l/2∙‖q‖_(2,∆_1 )≤
≤‖μ‖_(2,∆_1 )+(l/(2√2)+(C_1 l)/2 ‖q‖_(2,∆_1 ) ) ‖f‖_(2,∆_(1∪) ∆_2 ).

Отсюда следует, что
|u_2 (x,t)|≤Sup┬((x,t)ϵ∆_1∪∆_2 ) |F_2 (x,t)|+
+Sup┬((x,t)ϵ∆_1∪∆_2 ) |F_2 (x,t)|∙∑_(k=1)^∞▒〖〖‖q‖^k〗_(2,∆_1 )∙√(t(t-x)^k )/k!〗≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_1∪∆_2 ) |F_2 (x,t)|∙[1+∑_(k=1)^∞▒〖1/k! ∙(l∙‖q‖_(2,∆_2 ) )^k 〗]≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_1∪∆_2 ) |F_2 (x,t)| exp⁡(l∙‖q‖_(2,∆_2 ) )≤‖μ(t)‖∙exp⁡(l∙‖q‖_(2,∆_2 ) )+
+exp⁡(l∙‖q‖_(2,∆_2 ) )∙(l/(2√2)+(C_1 l)/2 ‖q‖_(2,∆_1 ) ) ‖f‖_(2,∆_1∪∆_2 )≤
≤C_2 (‖μ(t)‖+‖f‖_(2,∆_1∪∆_2 ) ),
где C_2=max{exp⁡(l∙‖q‖_(2,∆_2 ) );exp⁡(l∙‖q‖_(2,∆_2 ) )∙l/(2√2)+(C_1 l)/2 ‖q‖_(2,∆_1 ) }.
Теперь рассмотрим случай (x,t)ϵ∆_3. В этом случае получаем
|F_3 (x,t)|≤ν(x+t-l)+1/2 ∬_(D^(**))▒〖|f(η,τ)|dηdτ+〗
+1/2 ∬_(D_31)▒〖|q(η,τ) u_1 (η,τ)|dηdτ+〗 1/2 ∬_(D_32)▒〖|q(η,τ) u_1 (η,τ)|dηdτ≤〗
≤Sup┬(t∈[0,T] )⁡|ν(t)|∙√l+2l/√2 〖∙‖f‖〗_(2,∆_(1∪) ∆_3 )+l/(2√2) C_1∙‖f‖_(2,∆_1 )∙‖q‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 )+
+l/(2√2) C_1∙‖f‖_(2,∆_1 )∙‖q‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 ).
Отсюда вытекает, что
Sup┬((x,t)ϵ∆_3 ) |F_3 (x,t)|≤√l∙Sup┬(t∈[0,T] )⁡|ν(t)|+(2l/√2+l/√2 C_1 ‖q‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 ) ) ‖f‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 ) ;
|u_3 (x,t)|≤Sup┬((x,t)ϵ∆_3 ) |F_3 (x,t)|+Sup┬((x,t)ϵ∆_3 ) |F_3 (x,t)| ∑_(k=1)^∞▒〖((√l∙‖q‖_(2,∆_3 ))/2)^k∙√((x+t-l)^k )/k!〗≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_3 ) |F_3 (x,t)|[1+∑_(k=1)^∞▒〖((√l∙‖q‖_(2,∆_3 ))/2)^k∙√((x+t-l)^k )/k!〗]≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_3 ) |F_3 (x,t)|[1+∑_(k=1)^∞▒((√l∙‖q‖_(2,∆_3 )∙√(x+t-l ))/2)^k/k!]≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_3 ) |F_3 (x,t)|∙exp(‖q‖_(2,∆_3 )∙l/2)≤
≤[√l∙Sup┬(t∈[0,T] )⁡|ν(t)|+(2l/√2+(lC_1)/√2 ‖q‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 ) ) 〖∙‖f‖〗_(2,∆_(1∪) ∆_3 ) ]×
×exp(‖q‖_(2,(∆_3 ) )∙l/2)≤C_3 (‖ν‖_(2,∆_3 )+‖f‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 ) ),
где
C_3=max{■(√l∙exp(‖q‖_(2,∆_3 )∙l/2);@exp(‖q‖_(2,∆_3 )∙l)(2l/√2+(lC_1)/√2 ‖q‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 ) ) )}.
Осталось рассмотрение случая (x,t)ϵ∆_4. Имеем
|F_4 (x,t)|≤|-∫_0^(t-x)▒μ(τ)dτ|+|ν(t+x-l)|+1/2 ∬_(D^(**))▒〖|f(η,τ)|dηdτ+〗
+1/2 ∬_(D_(41∪D_42 ))▒|q(η,τ) u_1 (η,τ)|dξdτ+1/2 ∬_(D_(43∪D_44 ))▒|q(η,τ) u_2 (η,τ)|dξdτ+
+1/2 ∬_(D_45)▒|q(η,τ) u_3 (η,τ)|dξdτ≤
≤‖μ‖_(2,∆_4 ) √l+Sup┬((x,t)ϵ∆_4 )⁡|ν(t)|+l/2 ‖f‖_(2,Q_l )+l/2 C_1 ‖f‖_(2,∆_1 ) ‖q‖_(2,∆_1 )+
+l/√2 C_2∙(√l∙‖μ‖_(2,∆_3 )+‖f‖_(2,∆_1∪∆_2 ) )∙‖q‖_(2,∆_1∪∆_2 )+
+l/√2 C_3 (Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |ν(t)|+‖f‖_(2,∆_(1∪) ∆_3 ) )∙‖q‖_(2,∆_1∪∆_3 )≤
≤‖μ‖_(2,∆_4 ) √l+Sup┬((x,t)ϵ∆_4 )⁡|ν(t)|+l/2 ‖f‖_(2,Q_l )+l/2 C_1 ‖f‖_(2,Q_l ) 〖∙‖q‖〗_(2,Q_l )+
+l/√2 C_2∙‖q‖_(2,Q_l )∙√l∙‖μ‖_(2,∆_3 )+l/√2 C_2∙‖f‖_(2,Q_l ) 〖∙‖q‖〗_(2,Q_l )+
+(l√l)/2 C_3∙Sup┬((x,t)ϵ∆_2 ) |ν(t)|+l/√2 C_3 ‖f‖_(2,Q_l ) 〖∙‖q‖〗_(2,Q_l )≤
≤(1+(lC_2)/√2 〖∙‖q‖〗_(2,Q_l ) ) Sup┬((x,t)ϵQ_l )⁡〖|ν|+(√l+(l√l)/2 C_3 )〗 ‖μ‖_(2,∆_4 )+
+(l/2+l/2 C_1 〖∙‖q‖〗_(2,Q_l )+l/√2 C_2 ‖q‖_(2,Q_l )+l/√2 C_3 〖∙‖q‖〗_(2,Q_l ) ) ‖f‖_(2,Q_l ).
Отсюда
|u_4 (x,t)|≤Sup┬((x,t)ϵ∆_4 ) |F_4 (x,t)|+
+Sup┬((x,t)ϵ∆_4 ) |F_4 (x,t)| ∑_(k=1)^∞▒〖((√l∙‖q‖_(2,∆_4 ))/2)^k∙√((x+t-l)^k )/k!〗≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_4 ) |F_4 (x,t)|∙[1+∑_(k=1)^∞▒〖((√l∙‖q‖_(2,∆_4 ))/2)^k∙√((x+t-l)^k )/k!〗]≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_4 ) |F_4 (x,t)|∙[1+∑_(k=1)^∞▒(√l∙‖q‖_(2,∆_4 )∙√(x+t-l)/2)^k/k!]≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_4 ) |F_4 (x,t)|∙exp(‖q‖_(2,∆_4 )∙√(l(x+t-l) )/2)≤
≤Sup┬((x,t)ϵ∆_4 ) |F_4 (x,t)|∙exp((l∙‖q‖_(2,∆_4 ))/2)≤
≤C_4 (‖μ‖_(2,Q_l )+Sup┬((x,t)ϵQ_l )⁡〖|ν(t)|+〗 ‖f‖_(2,Q_l ) ),
где
C_4=max{■(exp((l∙‖q‖_(2,∆_4 ))/2)(1+(lC_2)/√2 〖∙‖q‖〗_(2,Q_l ) );@exp((l∙‖q‖_(2,∆_4 ))/2)(√l+(l√l)/2 C_3 );@exp((l∙‖q‖_(2,∆_4 ))/2)(l/2+(l/2 C_1+l/√2 C_2+l/√2 C_3 ) ‖q‖_(2,Q_l ) ) )}.
Итак, мы показали справедливость оценки (22), из которой (22) вытекает, что полученное решение является устойчивым относительно функции правой части уравнения и граничных функций.
Замечание 1. Пусть функция u^* (x,t) является обобщённым решением в смысле интегрального тождества (7) смешанной задачи (1) – (3) в случае, когда коэффициент есть нулевой элемент класса суммируемых с квадратом функций, определяющим равенством (8) и u(x,t) является решением исходной задачи. Без труда можно видеть, что на основании рядов, которые дают решения уравнений (12), (14), (16), (18) и с учётом оценок (13), (15), (17), (19) получим, что
(max)┬((x"," t)∈Q_T ) |u(x,t)-u^* (x,t)|≤K‖q‖_(L_2 (Q_T ) ).
В приведённой оценке константа K не зависит от нормы q(x,t). В силу равенств (20) и (21) получим оценку
‖u-u^* ‖_(W_2^1 (Q_T ) )≤C‖q‖_(L_2 (Q_T ) ),
которая свидетельствует о том, что решение смешанной задачи устойчиво по отношению к аддитивному возмущению 𝑞(𝑥,𝑡)𝑢(𝑥,𝑡) с коэффициентом 𝑞(𝑥, 𝑡) из класса суммируемых с квадратом функций.
Замечание 2. Аналогично можно исследовать смешанную задачу II с нулевыми финальными условиями (5) и такими граничными условиями (2), для которых μ(t)∈L_2 [0,T],ν(t)∈〖 W〗_2^1 [0,T] и ν(T)=0. Здесь также решение для однородного уравнения будет тождественным нулем в области {(x,t):max{T-l,0}≤t≤T,T-t≤x≤l}∩Q_T.
Опираясь на рассуждения, которые приведены в [8], легко доказывается следующая
Теорема 2. Предположим, что 〖q(x,t)∈L〗_2 (Q_T ). Тогда смешанная задача (1)-(3) может иметь не более одного решения из класса W ̂_2^1 (Q_T ) при T∈(0;l]
Теорема 2 говорит о том, что рассматриваемое в лемме решение для уравнения (1) с нулевыми начальными условиями и с граничными условиями (2) является единственным решением из класса W ̂_2^1 (Q_T ) смешанной задачи. Поэтому можно заключить, что теорема 1 доказывает существование именно этого решения.
Замечание 3. Аналогичные вопросы, связанные с разрешимостью слабо обобщённых решений гиперболических уравнений, исследуются также в монографии Ж.Л.Лионса [22, с. 163-165]. В монографии О.А.Ладыженской [23, с. 232] теорема единственности доказывается при выполнении некоторых дополнительных условий на гладкость коэффициента. В случае, когда коэффициент зависит только от x, для доказательства теоремы единственности используется спектральный метод, который был предложенный В.А. Ильиным в [21] (см. утв. 1).
Автор статьи выражает благодарность своему научному руководилью за постановку задачи и постоянное внимание при её написании.
Рецензент: Зарифзода С.,
д.ф.м.н., доцент

ЛИТЕРАТУРА
Егоров А.И. Управление упругими колебаниями / А.И. Егоров // ДАН УССР. Серия физ-мат. и техн. наук. – 1986. – №5. – С. 60-63.
Lions J.L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems / J.L. Lions // SIAM Review. – 1988. – Vol. 30. – № 1. – Pp. 1-68.
Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщённого решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. – 2000. – Т. 36. – №11. – С. 1513-1528.
Ильин В.А. Оптимальное граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при свободном другом конце / В.А.Ильин, Е.И. Моисеев // Нелинейная динамика и управление. – 2004. – №4. – С. 25-38.
Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями / Л.Н.Знаменская.  М.: Физматлит, 2004.  176 с.
Андреев А.А. Задача граничного управления для системы волновых уравнений / А.А. Андреев, С.В. Лексина // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математических наук. – 2008. – №1(16). – С.5-10.
Васильев Ф.П. Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения / Ф.П. Васильев, М.А. Куржанский, М.М. Потапов, А.В. Разгулин. – М.: МАКС Пресс, 2010.
Крицков Л.В. О задачах граничного управления для уравнения Клейна-Гордона-Фока с суммируемым коэффициентом / Л.В. Крицков // Дифференциальные уравнения. – 2015. – Т. 51. – №5. – С. 688-701.
Ломовцев Ф.Е. Критерий существования граничных управлений вынужденными колебаниями струны нестационарными первыми косыми производными за произвольное время / Ф.Е. Ломовцев, С.П. Ходос // Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2018. – Т. 8. – № 1. – С. 37-50.
Барсегян В.Р. Задача граничного управления колебаниями струны смещением левого конца при закреплённом правом конце с заданными значениями функции прогиба в промежуточные моменты времени / В.Р. Барсегян, С.В. Солодуша // Вестник Российских университетов. Математика. – 2020. – Т. 25. – № 130. – С.131-146.
Абдукаримов М.Ф. Задача граничного управления для одномерного уравнения Клейна-Гордона Фока с переменным коэффициентом. Случай управления смещением на одном конце при закрепленном втором / М.Ф. Абдукаримов, Л.В. Крицков // Дифференциальные уравнения. – 2013. – Т. 49. – №6. – С.759–771.
Крицков Л.В. Граничное управление смещением на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменным коэффициентом / Л.В. Крицков, М.Ф. Абдукаримов // Доклады Академии наук. – 2013. – Т. 450. – № 6. – С. 640-643.
Абдукаримов М.Ф. О граничном управлении упругой силой на одном конце при закрепленном втором процесса вынужденных колебаний струны / М.Ф. Абдукаримов// Доклады Академии наук Республики Таджикистан. – 2015. – Т.58. – №10. – С.894-900.
Абдукаримов М.Ф. Некоторые задачи граничного управления для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом / М.Ф. Абдукаримов. – Душанбе: Эр-Граф, 2018. – ¬¬240 с.
Абдукаримов М.Ф. Задача граничного управления упругой силой на одном конце при закрепленном втором для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом / М.Ф. Абдукаримов // Дифференциальные уравнения. – 2020. – Т. 56. – №2. – С.226-242.
Абдукаримов М.Ф. Устойчивость решения одной комбинированной смешанной задачи для уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом / М.Ф. Абдукаримов // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2021. – №2. – С.3-10.
Абдукаримов М.Ф. Исследование одной смешанной задачи для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом из класса L2 / М.Ф.Абдукаримов // Вестник филиала Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова в городе Душанбе. Серия естественных наук. ¬– 2023. ¬ – Т.1. ¬– №2(31). – С. 44-61.
Абдукаримов М.Ф. О разрешимости одной комбинированной смешанной задачи для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом / М.Ф. Абдукаримов // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. – 2020. – Т.63. – №1-2. – С.24-33.
Абдукаримов М.Ф. О разрешимости одной смешанной задачи для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом из класса суммируемых с квадратом функций / М.Ф. Абдукаримов, Ф.Р. Исматов // Доклады национальной Академии наук Таджикистана. – 2022. – Т.65. – №9-10. – С. 592-600.
Абдукаримов М.Ф. Исследование некоторых задач граничного управления процессом, описываемым телеграфным уравнением с переменным коэффициентом / М.Ф. Абдукаримов. ¬¬– Душанбе: Сарбоз, 2023. – 283 с.
Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений / В.А. Ильин // Успехи матем. наук. – 1960. – Т.15. – №2(92). – С. 97-154.
Лионс Ж.Л. Управление сингулярными распределёнными системами / Ж. Л. Лионс. – М.: Наука, 1987. – 368 с.
Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. – М.: Наука, 1973. – 407 с.
Абдукаримов М.Ф. Об однозначной разрешимости двух комбинированных смешанных задач для телеграфного уравнения с переменным коэффициентом / М.Ф. Абдукаримов, Ф.Р. Исматов // Вестник филиала МГУ имени М.В.Ломоносова в г. Душанбе. Серия естественных наук. – ¬2024. – Т.1. – №3(41). – С. 5-31.

REFERENCES
Egorov A.I. Control of elastic oscillations / A.I. Egorov // RNA SUSSR. Series of physical-mathematical and technical sciences. - 1986. - № 5. - Pp. 60-63.
Lions J.L. Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems / J.L. Lions // SIAM Review. - 1988. - Vol. 30. - №1. - Pp. 1-68.
Ilyin V.A. Boundary control of the oscillation process at two ends in terms of a generalized solution of the wave equation with finite energy / V.A. Ilyin // Differential equations. - 2000. - Vol. 36. - №11. – Pp.1513-1528.
Ilyin V.A. Optimal boundary control of the process of string oscillations at one end with the other end free / V.A. Ilyin, E.I. Moiseev // Nonlinear dynamics and control. - 2004. - №4. – Pp.25-38.
Znamenskaya L.N. Control of elastic oscillations / L.N. Znamenskaya. - M.: Physmathlit, 2004. – р.176.
Andreev A.A. Boundary control problem for a system of wave equations / A.A. Andreev, S.V. Leksina // Bulletin of Samara State Technical University. Series of physical and mathematical sciences. - 2008. - №1 (16). – Pp.5-10.
Vasiliev F.P. Approximate solution of dual problems of control and observation / F.P. Vasiliev, M.A. Kurzhansky, M.M. Potapov, A.V. Razgulin. – M.: MAKS Press, 2010.
Kritskov L.V. On boundary control problems for the Klein-Gordon-Fock equation with a summable coefficient / L.V. Kritskov // Differential equations. – 2015. – Vol. 51. – №5. – Pp. 688-701.
Lomovtsev F.E. Criterion for the existence of boundary controls for forced oscillations of a string by non-stationary first oblique derivatives over an arbitrary time / F.E. Lomovtsev, S.P. Khodos // Bulletin of the Yanka Kupala Grodno State University. Series 2. Mathematics. Physics. Computer science, computing and control. – 2018. – Vol. 8. – №1. – Pp. 37-50.
Barseghyan V.R. Problem of boundary control of string oscillations by displacement of the left end with a fixed right end with given values of the deflection function at intermediate times / V.R. Barseghyan, S.V. Solodusha // Bulletin of Russian Universities. Mathematics. – 2020. – Vol. 25. – №130. – Pp. 131-146.
Abdukarimov M.F. Boundary control problem for the one-dimensional Klein-Gordon Fock equation with a variable coefficient. The case of displacement control at one end with the second fixed / M.F. Abdukarimov, L.V. Kritskov // Differential equations. – 2013. – Vol. 49. – №6. – Pp. 759–771.
Kritskov L. V. Boundary control of displacement at one end with the other end free for the process described by the telegraph equation with a variable coefficient / L. V. Kritskov, M. F. Abdukarimov // Reports of the Academy of Sciences. – 2013. – Vol. 450. – №6. – Pp. 640–643.
Abdukarimov M. F. On the boundary control of the elastic force at one end with the other end fixed in the process of forced oscillations of a string / M. F. Abdukarimov // Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan. – 2015. – Vol. 58. – №10. – Pp. 894–900.
Abdukarimov M. F. Some boundary control problems for the telegraph equation with a variable coefficient / M. F. Abdukarimov. – Dushanbe: Er-Graf, 2018. -р. 240.
Abdukarimov M.F. The problem of boundary control of elastic force at one end with the other fixed for the telegraph equation with a variable coefficient / M.F. Abdukarimov // Differential equations. – 2020. – Vol. 56. – №2. – Pp. 226-242.
Abdukarimov M.F. Stability of the solution of one combined mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation with a variable coefficient / M.F. Abdukarimov // Bulletin of Moscow University. Series 1. Mathematics. Mechanics. – 2021. – №2. – Pp. 3-10.
Abdukarimov M.F. Study of one mixed problem for the telegraph equation with a variable coefficient from the class L2 / M.F.Abdukarimov // Bulletin of the branch of Moscow State University named after M.V. Lomonosov in Dushanbe. Series of natural sciences. - 2023. - Vol. 1. -№2 (31). – Pp. 44-61.
Abdukarimov M.F. On the solvability of one combined mixed problem for the telegraph equation with a variable coefficient / M.F. Abdukarimov // Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan. - 2020. - Vol. 63. - №1-2. - Pp. 24-33.
Abdukarimov M.F. On the solvability of one mixed problem for the telegraph equation with a variable coefficient from the class of square-summable functions / M.F. Abdukarimov, F.R. Ismatov // Reports of the National Academy of Sciences of Tajikistan. - 2022. - Vol. 65. - №9-10. - Pp. 592-600.
Abdukarimov M.F. Study of some problems of boundary control of a process described by a telegraph equation with a variable coefficient / M.F. Abdukarimov. - Dushanbe: Sarboz, 2023. – р. 283.
Ilyin V.A. On the solvability of mixed problems for hyperbolic and parabolic equations / V.A. Ilyin // Uspekhi matem. sciences. - 1960. - Vol. 15. - №2 (92). - Pp. 97-154.
Lions J.L. Control of singular distributed systems / J.L. Lions. – M.: Sciences, 1987. – 368 p.
Ladyzhenskaya O. A. Boundary value problems of mathematical physics / O. A. Ladyzhenskaya. - M.: Sciences, 1973. – 407 р.
Abdukarimov M. F. On the unique solvability of two combined mixed problems for the telegraph equation with a variable coefficient / M. F. Abdukarimov, F. R. Ismatov // Bulletin of the branch of Moscow State University named after M. V. Lomonosov in Dushanbe. Series of natural Sciences. - ¬2024. - Vol. 1. - №3 (41). – Pp.5-31.

ҲАЛШАВАНДАГИИ ЯКҚИМАТАИ ДУ МАСЪАЛАИ ОМЕХТАИ ТАРКИБӢ БАРОИ МУОДИЛАИТЕЛЕГРАФӢ БО КОЭФФИТСИЕНТИ ТАҒЙИРЁБАНДА АЗ СИНФИ L2
Дар мақола аз нуқтаи назари ҳалли умумишуда, аниқтараш ба маънои айнияти интегралӣ барои муодилаи телеграфии якченака бо коэффитсиенти тағйирёбанда аз синфи функсияҳои замшавандаи квадратӣ, ду масъалаи омехтаи зерин баррасӣ карда мешаванд: дар охири чап қувваи чандирӣ дода шудааст, дар охири рост ҷойивазкунӣ дода шудааст ва дар вақти t=0 шартҳои ибтидоӣ ё дар вақти t=T шартҳои интиҳоӣ муайян карда шудаанд. Шартҳои сарҳадӣ ва ибтидоӣ ё интиҳоӣ шартҳои ҳамҷояшавиро дар қуллаҳои росткунҷа, ки дар он ҳалли масъалаҳои омехтаи баррасишаванда ҷустуҷӯ карда мешавад, қонеъ месозанд. Мақола аз муқаддима ва ду бахш иборат аст. Дар муқаддима маълумоти мухтасари таърихӣ оварда шудааст. Дар бахши аввал гузориши масъалаҳо ва таърифҳои зарурӣ оварда шудаанд. Дар бахши дуюм масъалаи мавҷудият, ягонагӣ ва устувории ҳалли масъалаҳои омехтаи шаклёфта таҳқиқ карда мешавад, яъне ҳалпазирии якқиматаи масъалаҳои омехтаи омӯхташванда исбот карда шудааст. Ҳалпазирии якқиматаи масъалаҳои мувофиқ барои муодилаи лапишҳои маҷбурии тор низ исбот карда шудааст. Ҳангоми омӯзиши масъалаҳои гузошташуда усуле истифода мешавад, ки моҳияти он иваз кардани масъалаи дифференсиалӣ ба масъалаи интегралӣ мебошад. Натиҷаҳои бадастомада барои тадқиқи масъалаҳои идоракунии сарҳадии мувофиқ истифода мешаванд.
Калидвожаҳо: муодилаи телеграфӣ, масъалаи омехта, идоракунии сарҳадӣ, коэффитсиенти тағйирёбандадор, айнияти интегралӣ, шартҳои сарҳадӣ, шартҳои ибтидоӣ, шартҳои интиҳоӣ, ҳалли умумишуда, нобаробарии Коши-Буняковский

ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ДВУХ КОМБИНИРОВАННЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ИЗ КЛАССА L2
В данной работе в терминах обобщенного решения, точнее в смысле интегрального тождества для одномерного телеграфного уравнения с переменным коэффициентом из класса суммируемых с квадратом функций рассматриваются две следующие смешанные задачи: на левом конце задана упругая сила, на правом конце задано смещение, а в момент времени t=0 заданы начальные условия или в момент времени t=T заданы финальные условия. Граничные и начальные или финальные условия удовлетворяют условиям согласования в верщинах прямоугольника, где ищется решение рассматриваемых смешанных задач. Работа состоит из введения и двух разделов. Во введении приводится краткая историческая справка. В первом разделе приведены постановка задач и необходимые определения. Во втором разделе изучается вопрос существования, единственности и устойчивости решения рассматриваемых смешанных задач, т.е. доказана однозначная разрешимость изучаемых комбинированных смешанных задач. Также доказана однозначная разрешимость соответствующих задач для уравнения вынужденных колебаний струны. При исследовании поставленных смешанных задач используется метод, суть которого заключается в приведении дифференциальной задачи к интегральной задаче. Полученные результаты будут использованы для исследования соответствующих задач граничного управления.
Ключевые слова: телеграфное уравнение, смешанная задача, граничное управление, переменный коэффициент, интегральное тождество, граничные условия, начальные условия, финальные условия, обобщённое решение, неравенство Коши-Буняковского.

UNIQUE SOLVABILITY OF TWO COMBINED MIXED PROBLEMS FOR A TELEGRAPH EQUATION WITH A VARIABLE COEFFICIENT FROM CLASS L2
In this paper, in terms of a generalized solution, more precisely in the sense of an integral identity for a one-dimensional telegraph equation with a variable coefficient from the class of square summable functions, the following two mixed problems are considered: an elastic force is given at the left end, a displacement is given at the right end, and at time t =0 initial conditions are specified or at time t=T final conditions are specified. Boundary and initial or final conditions satisfy the matching conditions at the vertices of the rectangle, where a solution to the mixed problems under consideration is sought. The work consists of an introduction and two sections. The introduction provides a brief historical background. The first section provides the statement of problems and the necessary definitions. In the second section, the question of existence, uniqueness and stability of the solution to the considered mixed problems is studied, i.e. The unique solvability of the studied combined mixed problems has been proven. The unique solvability of the corresponding problems for the equation of forced vibrations of a string has also been proven. When studying the posed mixed problems, a method is used, the essence of which is to reduce the differential problem to an integral problem. The results obtained will be used to study relevant boundary management problems.
Key words: telegraph equation, mixed problem, boundary control, variable coefficient, integral identity, boundary conditions, initial conditions, final conditions, generalized solution, Cauchy-Bunyakovsky inequality.

Маълумот дар бораи муаллиф: Исматов Файзулло Раҳматуллоевич – Донишгоҳи миллии Тоҷикистон, докторанти (Ph.D) соли сеюми кафедраи математикаи ҳисоббарор ва механика. Суроға: 734025 ш. Душанбе, Ҷумҳурии Тоҷикистон, хиёбони Рӯдакӣ, 17. Телефон: (+992) 988011564. Е-mail: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it..
Cведение об авторе: Исматов Файзулло Раҳматуллоевич – Таджикский национальный университет, докторант (Ph.D) третьего года кафедры кафедра вычислительной математики и механики. Адрес: 11 734025, г.Душанбе Республика Таджикистан, пр. Рудаки, 17. Тел.: (+992) 988011564. Е-mail: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it..
Information about the author: Ismatov Fayzullo Rakhmatulloevich – Tajik National University, third-year doctoral student (Ph.D) of the department of computational mathematics and mechanics. Address: 734025, Dushanbe,Republic of Tajikistan, Rudaki Avenue, 17. Phone: (+992) 988011564. Е-mail: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Статья поступила в редакцию 13.09.2024
Одобрена после рецензирования 08.10.2024
Принята к публикации 18.11.2024

ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ДВУХ КОМБИНИРОВАННЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ИЗ КЛАССА L2

About journal